160 интерактивных модулей делают наглядными геометрию, топологию, фракталы, математический анализ, алгебру, теорию вероятностей и алгоритмы. Поверните поверхность, измените построение или проследите алгоритм шаг за шагом.
Приблизь гладкую кривую, заперев вертикальный масштаб на горизонтальном, — и она выпрямится: это и есть производная, а секущая через две точки ложится на касательную по мере их схождения. Затем та же лупа на излом, остриё и кривую, у которой разностное отношение ни к чему не сходится, — три разных отказа, нарисованные двумя касательными, вертикальной и никакой. И то, о чём не говорят: в плавающей точке шаг перестаёт помогать около 1e-8 и дальше делает ответ хуже, потому что вычитание двух почти равных чисел выбрасывает те самые цифры, которые несли ответ.
Заполни область под кривой прямоугольниками и смотри, как растёт их число: всё решает то, откуда каждый берёт высоту, и трапеция, идущая по кривой, ровно вдвое хуже прямоугольника со средней точкой, который по ней не идёт. Затем знак: интеграл синуса за период равен нулю, а площадь между ним и осью — четырём. И накопленная функция, чей наклон равен исходной кривой — везде, кроме места, где кривая прыгает: там у неё излом.
Смени переменные в интеграле — появится множитель; писать r dr dθ учат всех, а откуда берётся это r, показывают немногим. Это определитель производной отображения — отношение площади крохотной клетки к площади её образа, измеренное здесь на самих многоугольниках. Три вещи, которыми этот определитель не является: знак есть ориентация, а не часть множителя; нулевой определитель означает схлопнувшееся ребро, а не мелкие клетки; и интеграл |det J| равен площади образа только при однократном покрытии. z → z² накрывает единичный круг дважды, и сумма ошибается ровно вдвое.
Всякий другой способ счёта даёт число, которое, скорее всего, верно. Интервальная арифметика даёт пару, которая верна наверняка, и весь предмет — во сколько это обходится. Обходится в резкость, и у платы есть имя: всякое вхождение переменной считается отдельной переменной, поэтому x − x выходит интервалом шириной в две единицы. А значит, охват есть свойство ФОРМУЛЫ, а не функции: перепиши x(1 − x) как 0.25 − (x − 0.5)² — ширина упадёт с единицы до истинных 0.25; напиши x·x вместо x² в 1/(1 + 25x²) — ответом станет вся вещественная прямая.
Разрежь поверхность вертикальной плоскостью — получишь кривую, и её наклон есть производная в этом направлении. Поворачивай плоскость, следя за наклоном, а потом отложи его в полярных координатах: у дифференцируемой поверхности это ровно окружность с градиентом в качестве диаметра, и «градиент показывает вверх» перестаёт быть утверждением и становится картинкой. А одна поверхность здесь имеет обе частные производные, направленную производную по каждому направлению — и никакой касательной плоскости: формула ∇f·u предсказывает ноль, пока поверхность поднимается со скоростью 0,385.
Возле своего центра многочлен Тейлора неотличим от функции, и лишний член всегда окупается. Вдали от центра ломается тремя разными способами: за радиусом сходимости добавление членов делает ответ хуже без предела; у exp(−1/x²) ряд сходится всюду и совпадает с функцией в одной точке; и даже внутри радиуса суммирование далеко от центра способно выбросить все цифры. Сам радиус есть расстояние до особенности, которой на вещественной прямой нет вовсе, — поэтому третья сцена рисует комплексную плоскость, где ответ и живёт.
Потяните золотой маркер β, чтобы наклонить плоскость. Попробуйте четыре сечения и включите сферы Данделена. Правая кнопка вращает, колесо приближает. Справа — истинные расстояния в секущей плоскости. Бегущая точка измеряет отношение фокус/директриса e. У окружности e = 0 и нет конечной директрисы. q относится к горизонтальной проекции.
Разрежь многогранник по части рёбер и разверни на плоскость. Неразрезанные рёбра должны держать все грани связанными и без петель — остовное дерево графа граней, — и каждое такое дерево есть развёртка. Тело раскрывается по шарнирам составными поворотами, площадь развёртки сверяется с поверхностью, каждая пара граней отсекается друг об друга, чтобы доказать отсутствие наложений, а развёртки считаются с точностью до симметрий тела: две у тетраэдра, одиннадцать у куба, одиннадцать у его двойственного.
Тело из нескольких десятков граней и V − E + F, прочитанное после каждой правки: триангулируй грань, поставь в неё вершину, раздели или сотри ребро, вырежи грань, измельчи все — журнал показывает, что каждая операция делает с V, E и F и что χ меняется только при вырезании дыры. Род выводится из χ с названными условиями: сколько кусков, сколько граничных петель, ориентируема ли поверхность — на ленте Мёбиуса формула даёт вместо рода число плёнок.
Как четырёхмерное тело выглядит изнутри трёхмерного пространства: только своим срезом, и срез меняется, пока тело проходит. Тессеракт, идущий вершиной вперёд, показывает тетраэдр, который растёт, теряет углы, становится октаэдром и сжимается обратно; ячейкой вперёд — один куб на весь проход. Срезы построены из пересечённых ячеек, сосчитаны, измерены, и их объём, проинтегрированный по проходу, — четырёхмерный объём в любой ориентации: Кавальери на измерение выше.
Над каждой точкой обычной сферы в четырёхмерной сфере висит целая окружность, и эти окружности заполняют её целиком, ни разу не пересекаясь, — но любые две из них зацеплены, ровно один раз, как бы далеко ни разошлись их точки. Потяни точку по маленькому глобусу и смотри, как её окружность едет на большой картине; возьми целую параллель — и окружности сплетают тор. Коэффициент зацепления измеряется интегралом Гаусса, а угол между двумя окружностями выходит вдвое меньше угла между их точками — потому-то сфера Блоха кубита и имеет радиус одна вторая.
У линии нет площади — и всё же кривая может пройти через каждую точку квадрата: Пеано нашёл такую в 1890 году, Гильберт нарисовал свою в 1891-м. На каждом порядке кривая обходит все клетки ровно по разу, сдвигаясь на одну клетку за шаг, и предел непрерывен. Потяни метку: десятая часть кривой остаётся внутри примерно трети стороны — по такой кривой и индексируют пространство базы данных и форматы изображений. Обратное неверно, и панель это тоже измеряет: две соприкасающиеся клетки могут отстоять на пять шестых кривой.
Точка вечно отскакивает от стенки с равными углами. В круге угол не меняется: путь обходит меньшую окружность, в которую не может войти, а рациональный поворот замыкается в многоугольник. В стадионе — два полукруга, соединённых прямыми стенками — не сохраняется ничего, кроме скорости, и два пути, разошедшиеся на миллиардную долю градуса, через двадцать отскоков разнесены на ширину стола. Панель это измеряет: разлёт подгоняется и экспонентой, и прямой, и ответ — та, что подошла.
Компьютер не умеет следовать траектории — он умеет делать шаги. Уменьшение шага вдвое делит ошибку на два, четыре или шестнадцать в зависимости от метода — до тех пор, пока шагов не станет столько, что накопленное округление перевесит, и меньший шаг сделает ответ ХУЖЕ. На орбите самый точный из четырёх методов всё равно теряет энергию по прямой, а менее точный лишь колеблется вечно: точность и уважение к инварианту — разные добродетели. А в хаотической системе путь обречён при любом методе: переживает не траектория, а аттрактор.
Приближение может прижиматься к кривой сколь угодно близко и иметь неверную длину: лестница, сходящаяся к диагонали, на 41 % длиннее при любом измельчении, навсегда. Измерением выше — хуже. У фонаря Шварца все вершины лежат на цилиндре, треугольники сколь угодно мелки, а полная площадь стремится к истинным 2π, или к впятеро большему числу, или к бесконечности — только в зависимости от того, как гонятся два измельчения. Решает не размер кусочков, а их наклон, и панель его измеряет.
Точность покупается работой, и курс обмена — не свойство метода. Четыре правила интегрируют одну функцию, и валюта — сколько раз функцию прочли: гонка идёт на графике ошибки против числа вычислений с линией допуска, которую ставишь ты, после твоего прогноза победителя. На гладкой функции Гауссу хватает восьми чтений до машинной точности, а трапециям нужно шестьдесят пять тысяч; добавь в функцию один излом — и все правила высокого порядка сваливаются в одно и то же ползание. А после десяти миллионов слагаемых сами сложения теряют шесть знаков.
Семнадцать групп обоев, каждая построена из одного-двух генераторов и приложена к мотиву, который ты тянешь; зеркальные копии вторым цветом, так что повороты, отражения и скользящие отражения различимы на глаз. Порядок группы, её повороты и зеркала прочитаны из элементов, а не из названия. И восемнадцатый узор — ромбы Пенроуза — со счётом толстых и тонких, идущим к золотому сечению.
Сложи розыгрыши из любой формы — кубик, кривую монету, два горба, длинный хвост времени ожидания — и стандартизованная сумма превратится в один и тот же колокол. Одна выборка собирается на глазах и становится одной точкой серии рядом; сумма, среднее и стандартизованная сумма — три имени этой точки. Кумулянты суммы складываются, поэтому асимметрия падает как 1/√n, а эксцесс — как 1/n, и лист измеряет оба. И один источник всё ломает: у Коши нет дисперсии, и колокол не появляется никогда.
Некоторые модули входят в несколько Suites. Здесь у общего эксперимента одна страница.
