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160 módulos interactivos ponen ante sus ojos la geometría, la topología, los fractales, el cálculo, el álgebra, la probabilidad y los algoritmos. Gire una superficie, modifique una construcción o siga un algoritmo paso a paso.
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Amplía una curva suave con la escala vertical atada a la horizontal y se endereza: eso es la derivada, y la secante por dos puntos se acuesta sobre la tangente. Después la misma lupa sobre una esquina, una cúspide y una curva cuyo cociente incremental no se asienta en nada: tres fracasos distintos. Y lo que nadie cuenta: en coma flotante un paso más pequeño deja de ayudar cerca de 1e-8 y luego empeora la respuesta.
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Rellena la región bajo una curva con franjas y mira crecer su número: todo lo decide de dónde toma cada franja su altura, y el trapecio que sigue la curva es exactamente el doble de malo que el rectángulo del punto medio, que no la sigue. Después el signo: la integral del seno en un periodo es cero y el área entre él y el eje es cuatro.
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Cambia de variables en una integral y aparece un factor. Es el determinante de la derivada de la aplicación: la razón entre el área de una celda diminuta y la de su imagen, medida aquí sobre los propios polígonos. El signo es una orientación y no parte del factor, un determinante nulo significa un borde colapsado, y la integral de |det J| es el área de la imagen sólo si la cubre una vez.
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Cualquier otra forma de calcular da un número que probablemente sea correcto. La aritmética de intervalos da un par que lo es con certeza, y todo el tema es cuánto cuesta eso. Se llama dependencia: cada aparición de una variable cuenta como otra variable, así que x − x sale con anchura dos. La inclusión es propiedad de la FÓRMULA, no de la función.
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Corta una superficie con un plano vertical y obtienes una curva; su pendiente es la derivada en esa dirección. Traza la pendiente en coordenadas polares: en una superficie diferenciable eso es exactamente una circunferencia con el gradiente como diámetro. Y una superficie de aquí tiene ambas derivadas parciales, derivada direccional en toda dirección, y ningún plano tangente.
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Cerca de su centro un polinomio de Taylor es indistinguible de la función, y cada término de más compensa. Lejos fallan tres cosas distintas: fuera del radio de convergencia más términos empeoran la respuesta sin límite, exp(−1/x²) tiene una serie que converge en todas partes y acierta en un solo punto, y aun dentro del radio la suma puede perder todos los dígitos. El radio es la distancia a una singularidad que no está en la recta real.
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Tres formas de comparar áreas: piezas de madera, hojas flexibles y una vista exacta.
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Arrastra el marcador β para inclinar el plano. Prueba los cuatro cortes y activa las esferas de Dandelin. Botón derecho: girar; rueda: zoom. La vista derecha conserva distancias del plano de corte. El punto móvil mide foco/directriz e. La circunferencia tiene e = 0 y no tiene directriz finita. q corresponde a la proyección horizontal.
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Corta un sólido por algunas de sus aristas y ábrelo en plano. Las aristas sin cortar deben mantener todas las caras conectadas sin cerrar un ciclo - un árbol de expansión del grafo de caras - y cada árbol así es un desarrollo. El sólido se abre por sus bisagras mediante rotaciones compuestas, el área del desarrollo se coteja con la superficie, cada par de caras se recorta para probar que nada se solapa, y los desarrollos se cuentan salvo las simetrías del sólido: dos para el tetraedro, once para el cubo, once para su dual.
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Un cuerpo de unas decenas de caras, y V − E + F leído tras cada edición: triangular una cara, poner un vértice en ella, dividir o borrar una arista, recortar una cara, refinarlas todas - un registro muestra qué hace cada operación con V, E y F, y que χ solo se mueve al recortar un agujero. El género sale de χ con sus condiciones dichas: cuántas piezas, cuántos lazos de borde, orientable o no - en una cinta de Möbius la fórmula da gorros cruzados en su lugar.
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Cómo se ve un sólido de cuatro dimensiones desde dentro del espacio tridimensional: solo su corte, y el corte cambia mientras el sólido atraviesa. Un teseracto que viene vértice por delante muestra un tetraedro que crece, pierde sus esquinas, se vuelve octaedro y vuelve a encoger; celda por delante muestra un solo cubo durante todo el paso. Los cortes se construyen a partir de las celdas cruzadas, se cuentan, se miden, y su volumen integrado a lo largo del paso es el 4-volumen en cualquier orientación: Cavalieri, una dimensión más arriba.
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Sobre cada punto de una esfera corriente hay, en la esfera de cuatro dimensiones, una circunferencia entera; esas circunferencias la llenan sin cruzarse jamás - y aun así dos cualesquiera están enlazadas, exactamente una vez, por lejos que estén sus puntos. Arrastra un punto por el globo pequeño y mira cómo su circunferencia se mueve en la imagen grande; toma un paralelo entero y las circunferencias tejen un toro. El número de enlace se mide con la integral de Gauss, y el ángulo entre dos circunferencias resulta ser la mitad del ángulo entre sus puntos - por eso la esfera de Bloch de un cúbit tiene radio un medio.
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Una línea no tiene área - y aun así una curva puede pasar por cada punto de un cuadrado: Peano encontró una en 1890, Hilbert dibujó la suya en 1891. En cada orden la curva visita cada celda exactamente una vez, avanzando una celda por paso, y el límite es continuo. Arrastra el marcador: una décima parte de la curva se queda dentro de un tercio del lado aproximadamente - por eso las bases de datos y los formatos de imagen indexan el espacio a lo largo de una curva así. Lo recíproco es falso, y el panel también lo mide: dos celdas que se tocan pueden distar cinco sextos de la curva.
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Añade una arista, busca un camino entre dos vértices y observa cómo c pasa por uno. La red y las medidas usan la misma secuencia de aristas.
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Un punto rebota para siempre dentro de una pared con ángulos iguales. En el círculo el ángulo no cambia nunca: la trayectoria evita un círculo menor en el que no puede entrar, y una rotación racional se cierra en un polígono. En el estadio - dos semicírculos unidos por paredes rectas - no se conserva nada salvo la velocidad, y dos trayectorias separadas por una milmillonésima de grado distan el ancho de la mesa tras veinte rebotes. El panel lo mide: la separación se ajusta con una exponencial Y con una recta.
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Un ordenador no puede seguir una trayectoria; solo puede dar pasos. Reducir el paso a la mitad divide el error entre dos, cuatro o dieciséis según el método, hasta que los pasos son tantos que el redondeo pesa más y un paso menor empeora la respuesta. En una órbita, el más preciso de los cuatro métodos pierde energía en línea recta mientras que uno menos preciso solo oscila para siempre: la precisión y el respeto por un invariante son virtudes distintas. Y en un sistema caótico la trayectoria está perdida con cualquier método: lo que sobrevive es el atractor.
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Una aproximación puede ceñirse a una curva todo lo que se quiera y tener la longitud equivocada: una escalera que converge a una diagonal es un 41 % más larga en cada refinamiento, para siempre. Una dimensión más arriba es peor. La linterna de Schwarz tiene todos sus vértices sobre un cilindro y triángulos tan pequeños como se quiera, y su área total tiende a los verdaderos 2π, a cinco veces eso, o al infinito, según únicamente cómo compiten sus dos refinamientos. Lo que decide no es el tamaño de las piezas sino su inclinación, y el panel la mide.
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La precisión se compra con trabajo, y el tipo de cambio no es una propiedad del método. Cuatro reglas integran la misma función y la moneda es cuántas veces se lee la función: la carrera se corre sobre un gráfico del error frente a las evaluaciones, con una línea de tolerancia que pones tú, después de predecir el ganador. En una función suave, Gauss llega a la precisión de máquina con ocho lecturas mientras la regla del trapecio necesita sesenta y cinco mil; pon un solo pico en la función y todas las reglas de orden alto caen en el mismo avance lento. Y pasados diez millones de términos, las propias sumas pierden seis cifras.
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Los diecisiete grupos de papel pintado, cada uno construido con uno o dos generadores y aplicado a un motivo que arrastras; las copias reflejadas en un segundo color, para distinguir a ojo rotaciones, reflexiones y reflexiones con deslizamiento. El orden del grupo, sus rotaciones y sus espejos leídos de los elementos, no del nombre. Y el decimoctavo patrón - rombos de Penrose - con el recuento de gruesos y finos caminando hacia la razón áurea.
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Suma extracciones de cualquier forma (un dado, una moneda trucada, dos jorobas, la larga cola de un tiempo de espera) y la suma estandarizada se convierte en la misma campana. Una muestra se reúne ante tus ojos y se convierte en un punto de la serie de al lado; la suma, la media y la suma estandarizada son tres nombres de ese punto. Los cumulantes de una suma se suman, así que la asimetría cae como 1/√n y el exceso de curtosis como 1/n, y la hoja mide ambos. Y una fuente lo rompe: una Cauchy no tiene varianza y nunca aparece la campana.
Algunos módulos pertenecen a varias Suites. Cada experimento compartido tiene aquí una sola descripción.