160 módulos interactivos ponen ante sus ojos la geometría, la topología, los fractales, el cálculo, el álgebra, la probabilidad y los algoritmos. Gire una superficie, modifique una construcción o siga un algoritmo paso a paso.
Una cadena que se puede leer (resultado, suma, media) y dos gráficos sobre un mismo eje log n con un solo cursor: la desviación de la media entra en un embudo de ±2σ/√n, mientras que el exceso S_n − nμ crece como √n y nunca se asienta. Predice primero si el exceso también tiende a cero y luego deja crecer la serie; seis series más en las mismas condiciones están al lado. Una racha forzada la olvida la media y la guarda el recuento; para la moneda los números son exactos por la binomial; y una fuente de Cauchy, sin media, no se asienta nunca.
Dos mil experimentos preguntan si una media es cero; se cuenta la fracción que rechaza con α = 0,05. Sin efecto es el 5 % - la tasa de error de tipo I - y los valores p son uniformes. Con efecto es la potencia, que sube con el efecto y con n: media σ se encuentra el 32 % de las veces con diez observaciones y el 82 % con treinta y cuatro. Mira los datos cada cinco observaciones y para cuando p baje de 0,05, y la tasa de falsos positivos es un cuarto. Todo se cuenta; la curva de Student sale del código.
Monty Hall: cambiar gana 2/3, y solo 1/2 si el presentador no sabía dónde estaba el premio, aunque abriera la misma puerta. Los dos hijos: 'al menos uno es niño' hace que dos niños sean 1/3, 'el mayor es niño' 1/2, 'un niño nacido en martes' 13/27. La cuerda de Bertrand: una cuerda al azar es más larga que el lado del triángulo con probabilidad 1/3, 1/2 o 1/4, según qué signifique 'al azar'. Cada respuesta es una fracción exacta y un recuento sobre veinte mil ensayos sembrados, y la imagen muestra el procedimiento que la produjo.
Hay pocas maneras de fabricar un número aleatorio con una distribución dada, y todas empiezan por una uniforme. Pásala por la inversa de la función de distribución (exponencial, Cauchy, triangular). Toma dos y conviértelas en un par de normales (Box-Muller). Lanza dardos a una caja alrededor de la densidad y quédate con los que caen bajo la curva (rechazo: la parte aceptada es π/4 en el semicírculo). Cuenta esperas exponenciales en una unidad de tiempo (Poisson) o caras en diez monedas (binomial). Sigue una ficha numerada por la máquina y después contrasta toda la muestra con su curva exacta.
Explora la amplificación de amplitud en una búsqueda no estructurada. Un oráculo de fase cambia el signo de la amplitud marcada sin cambiar las probabilidades en la base computacional. El paso de difusión convierte la fase relativa en una mayor probabilidad de éxito.
Cuatro circuitos pequeños con una fase girable, leídos en la base Z, X o Y. La fase es una propiedad real y situada del estado - el vector de Bloch recorre el ecuador con ella - y en la base equivocada es completamente invisible: en una vuelta entera el mayor cambio de cualquier probabilidad de resultado es 1e-16. Pon un segundo Hadamard al final y esa misma fase decide la respuesta con certeza. Eso es interferencia, y en ello está toda la diferencia entre un ordenador cuántico y una moneda.
La estación de Alice tiene un cúbit mensaje y la mitad de un par compartido; la de Bob, la otra mitad. Recorre el protocolo paso a paso - CNOT, H, medición - y envía los dos bits por un canal ordinario. Detenlos antes de que lleguen e intenta adivinarlos; luego elige la corrección de Bob y compara lo que tiene con el mensaje. Hasta que llegan los bits el cúbit de Bob es I/2 sea cual sea el mensaje, y tras medir Alice no conserva copia.
Una caja negra calcula f de n bits a un bit, y solo se le puede preguntar por entradas. Estar seguro de si f es constante o equilibrada cuesta clásicamente media tabla más una llamada. Hadamard sobre todo, UNA llamada con la respuesta como signo, Hadamard otra vez - y el resultado todo ceros lo decide. La tabla de verdad aquí se puede pulsar, así que la promesa puede romperse a mano: para cualquier tabla la respuesta sale con probabilidad (1 − 2k/N)². Y si la tabla resulta ser f(x) = s·x, esa única llamada devuelve la propia s.
Inyecta X, Z o Y en una placa 3D, lee el síndrome y revela la corrección. Compara el operador lógico residual y la fidelidad de entrada, y contrasta las probabilidades exactas con un conjunto de pruebas.
Una mesa de madera y latón muestra por qué MCD(a,b)=MCD(b,r). Traslada el resto, examina los coeficientes exactos de Bézout y las fracciones continuas, compara pares y muestras reproducibles.
Una esfera de m marcas y una aguja. Sumar dibuja una estrella que cierra tras m/mcd(s, m) movimientos; multiplicar, un ciclo cuya longitud divide a phi(m). Algunos módulos no tienen ninguna raíz primitiva, y la tarjeta lo dice: es un teorema, no una búsqueda fallida.
Haga la criba a mano sobre fichas numeradas: tome el siguiente divisor, prediga dónde empieza su ola y mire cómo tacha sus múltiplos - los ya tachados solo se tocan. Al lado, pi(x) contado frente a las aproximaciones x/ln x y Li(x).
Un mensaje atraviesa dos potencias modulares sobre una mesa de madera y latón. Ejecuta los pasos enteros, explora la permutación y busca un divisor con un contador exacto.
Una mesa de clasificación: las claves son etiquetas de papel, un carro calcula el hash de cada una y la deja caer en el cubo que su hash nombra, y una colisión son dos claves distintas en un mismo cubo. El hash es una función con nombre – suma de códigos, polinomio en base 31, FNV-1a – o el oráculo uniforme tras la curva de los cumpleaños. Edite una clave, vea su hash calculado carácter a carácter, invierta un bit y cuente los bits del hash que cambian; compare dos funciones sobre las mismas claves.
Tres ordenaciones recorren el mismo arreglo a la misma velocidad en COMPARACIONES, y termina primero quien preguntó menos. Lo decide el desorden, no el tamaño: sobre una entrada ordenada la inserción usa 63 comparaciones y el quicksort 2016.
Dos copias de un laberinto, dos recorridos, una celda por tic. La capa en que la anchura encuentra una celda ES la distancia más corta, una identidad. La profundidad nunca es más corta, y cuánto más larga depende de adónde vayas.
Terreno donde un paso cuesta el precio de la celda en la que entras, y la ola de vértices cerrados se extiende por PRECIO, no por distancia. Un control pone una arista negativa en el mapa y tiene tres tramos medidos.
Montones de piedras y debajo sus dígitos binarios. Una columna con un número impar de unos arde en rojo; sin columnas rojas, quien mueve ya ha perdido. La regla se comprueba resolviendo todo el árbol del juego.
Algunos módulos pertenecen a varias Suites. Cada experimento compartido tiene aquí una sola descripción.
